题目内容
【题目】已知正项数列的首项
,前n项和
满足
.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列是公比为4的等比数列,且
,
,
也是等比数列,若数列
单调递增,求实数
的取值范围;
(3)若数列、
都是等比数列,且满足
,试证明: 数列
中只存在三项.
【答案】(1) (2)
(3)见解析
【解析】
(1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系,再根据等差数列定义以及通项公式得结果,(2)先根据条件解得,再根据数列单调性得
恒成立,最后根据最值得结果, (3)先反设
超过
项,再通过方程组求解公比,通过矛盾否定假设,即得结果.
解:(1) ,故当
时
,
两式做差得,
由为正项数列知,
,即
为等差数列,故
(2)由题意, ,化简得
,所以
,
所以,
由题意知
恒成立,即
恒成立,所以
,解得
(3)不妨设超过
项,令
,由题意
,则有
,
即
带入,可得
(*),
若则
,即
为常数数列,与条件矛盾;
若,令
得
,令
得
,两式作商,可得
,带入(*)得
,即
为常数数列,与条件矛盾,故这样的
只有
项.
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