Question

【题目】已知函数，曲线的图象在点处的切线方程为.

（1）求，并证明；

（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）由导数的几何意义，求得，得到函数的解析式，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解；

（2）把对任意的恒成立等价于对任意的恒成立，

令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．

（1）根据题意，函数，则，则，

由切线方程可得切点坐标为，将其代入，解得，

故，则，

则，得，

，函数单调递减；

，函数单调递增；

所以，所以．

（2）由对任意的恒成立等价于对任意的恒成立，

令，

得，

由（1）可知，当时，恒成立，

令，得；，得，

所以的单调增区间为，单调减区间为，

故，所以.

所以实数的取值范围为.