题目内容
【题目】已知椭圆
的半焦距为
，圆
与椭圆
有且仅有两个公共点，直线
与椭圆只有一个公共点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线
过椭圆的左焦点
，且与椭圆分别交于
两点，试问：
轴上是否存在定点
，使得
为定值?若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）在
轴上存在点
，使得
为定值
【解析】
（1）根据已知求出
即得椭圆
的标准方程；（2）当直线
的斜率存在时，设直线的方程为
，设
，利用韦达定理和向量的数量积求出
，此时
为定值；当直线的斜率不存在时，直线的方程为
，求出此时点R也满足前面的结论，即得解.
(1)依题意，得
，
则
，
故椭圆的标准方程为.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
代人椭圆的方程，可得
设
，
，则
，
设，则
若
为定值，则
，解得
此时
点的坐标为
②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代人，得
不妨设
，若，则
综上所述，在轴上存在点，使得为定值
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