题目内容
【题目】已知椭圆的半焦距为
,圆
与椭圆
有且仅有两个公共点,直线
与椭圆
只有一个公共点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知动直线过椭圆
的左焦点
,且与椭圆
分别交于
两点,试问:
轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在,求出该定值和点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)在
轴上存在点
,使得
为定值
【解析】
(1)根据已知求出即得椭圆
的标准方程;(2)当直线
的斜率存在时,设直线
的方程为
,设
,利用韦达定理和向量的数量积求出
,此时
为定值
;当直线
的斜率不存在时,直线
的方程为
,求出此时点R也满足前面的结论,即得解.
(1)依题意,得,
则,
故椭圆的标准方程为.
当直线
的斜率存在时,设直线
的方程为
,
代人椭圆的方程,可得
设,
,则
,
设,则
若为定值,则
,解得
此时
点的坐标为
②当直线的斜率不存在时,直线
的方程为
,代人
,得
不妨设,若
,则
综上所述,在轴上存在点
,使得
为定值
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