题目内容
【题目】如图，在正方体
中，E，F，M，N分别是
，BC，
，
的中点.
（1）求证：平面
平面NEF;
（2）求二面角
的平面角的正切值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）正方形
中三个中点，可得
，由正方体可证
，从而可得线面垂直，又得面面垂直；
（2）过点N作
于点G，连接MG，证明
为二面角
的平面角.然后求解．
（1）证明：因为N，F为所在棱的中点，所以
平面.
又
平面，所以.
又因为M，E为所在棱的中点，所以
和
均为等腰直角三角形.
所以
.所以
.所以.
又
，所以
平面NEF.又平面MNF，
所以平面
平面NEF.
（2）在平面NEF中，过点N作于点G，连接MG.
由（1）知平面NEF，又
平面NEF，所以
.
又
，所以
平面MNG.所以
.
所以为二面角的平面角.
设该正方体的棱长为2.
在
中，
，
所以在
中
.
所以二面角的平面角的正切值为.
练习册系列答案
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【题目】中国是世界互联网服务应用最好的国家，一部智能手机就可以跑遍国内所有地方，中国市场的移动支付普及率高得惊人.一家大型超市委托某高中数学兴趣小组调查该超市的顾客使用移动支付的情况，调查人员从年龄在
内的顾客中，随机抽取了
人，调查他们是否使用移动支付，结果如下表：
年龄 |
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使用 |
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不使用 |
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（1）为更进一步推动移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送
个环保购物袋,若某日该超市预计有
人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有
的把握认为使用移动支付与年龄有关？
年龄 | 年龄 | 小计 | |
使用移动支付 | |||
不使用移动支付 | |||
合计 |
附：下面的临界值表供参考：
参考数据：
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，其中
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