Question

9．设一个半球的半径为R，则其内接圆柱的最大侧面积是πR²．

Answer 1

分析 设这个圆柱的底面半径为r，高为h，可得这个圆柱的侧面积S=2πrh．利用导数研究函数的单调性，得S在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}R$）上是增函数，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}R$，R）上是减函数，由此可得当h=$\frac{\sqrt{2}}{2}R$时，圆柱的侧面积取最大值，

解答 解：设圆柱的底面半径为r，高为h，
则r²+h²=R²，
设圆柱的侧面积设为S，
则S=2πrh=2π$\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}$•h，
∴S′=2π（$\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}-\frac{{h}^{2}}{\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}}$）=2π$•\frac{{R}^{2}-2{h}^{2}}{\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}}$，
当h＜$\frac{\sqrt{2}}{2}R$时，S′＞0，S为增函数；
当h＞$\frac{\sqrt{2}}{2}R$时，S′＜0，S为减函数；
故当h=$\frac{\sqrt{2}}{2}R$时，S取最大值πR²，
故答案为：πR²．

点评 本题考查的知识点是旋转体，圆柱的侧面积，导数法研究函数的单调性，难度中档．