题目内容
4.若两个函数的图象有一个公共点,并在该点处的切线相同,就说明这两个函数有why点,已知函数f(x)=lnx和g(x)=ex+m有why点,则m所在的区间为( )A. | (-3,-e) | B. | (-e,-$\frac{21}{8}$) | C. | (-$\frac{21}{8}$,-$\frac{13}{6}$) | D. | (-$\frac{13}{6}$,-2) |
分析 设f(x)和g(x)的公共点为(a,b),(a>0),求导数,建立方程组,求得alna=1,确定a的范围,再由m=-lna-a=-(a+$\frac{1}{a}$)确定单调递增,即可得到m的范围.
解答 解:设f(x)和g(x)的公共点为(a,b),(a>0),
函数f(x)=lnx的导数为f′(x)=$\frac{1}{x}$,
g(x)=ex+m有的导数为g′(x)=ex+m,
即有$\frac{1}{a}$=ea+m,lna=ea+m,
即为alna=1,
令h(a)=alna-1,可得h($\frac{3}{2}$)=$\frac{3}{2}$ln$\frac{3}{2}$-1<0,h(2)=2ln2-1>0,
即有$\frac{3}{2}$<a<2,
则m=-lna-a=-(a+$\frac{1}{a}$)∈(-$\frac{5}{2}$,-$\frac{13}{6}$),而-$\frac{5}{2}$>-$\frac{21}{8}$,
故选C.
点评 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,解题的关键是分离参数,确定函数的单调性,属于中档题.
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