题目内容
【题目】 已知函数(a为常数).
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为,单调减区间为和.(2)
【解析】试题分析:(1)先确定函数定义域,再求导函数,进而求定义区间上导函数的零点,最后列表分析导函数符号并确定单调区间:增区间为,,减区间为和.(2)不等式恒成立问题,一般转化为对应函数最值问题: ,再利用导数研究函数单调性,确定当时有最大值为,即得实数的取值范围.
试题解析:解:(Ⅰ)函数的定义域为,
当时, ,
,
由得, ,
由得, 或,
∴函数的单调增区间为,
单调减区间为和.
(Ⅱ)当时, 恒成立,
令,
问题转换为时, .
,
①当时, ,
在上单调递增,
此时无最大值,故不合题意.
②当时,令解得, ,
此时在上单调递增,
此时无最大值,故不合题意.
③当时,令解得, ,
当时, ,
而在上单调递增,在上单调递减,
,
令, ,
则,
在上单调递增,
又,
当时, ,
在上小于或等于不恒成立,即不恒成立,
故不合题意.
当时, ,
而此时在上单调递减,
,符合题意.
综上可知,实数的取值范围是.
(也可用洛必达法则)
【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:
质量指标值分组 | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125) |
频数 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
(1)作出这些数据的频率分布直方图;
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?
【题目】某中学拟在高一下学期开设游泳选修课,为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关,该学校对100名高一新生进行了问卷调查,得到如下列联表:
喜欢游泳 | 不喜欢游泳 | 合计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合计 |
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为.
(1)请将上述列联表补充完整;
(2)并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关?并说明你的理由;
(3)已知在被调查的学生中有5名来自甲班,其中3名喜欢游泳,现从这5名学生中随机抽取2人,求恰好有1人喜欢游泳的概率.
下面的临界值表仅供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中)