题目内容

【题目】 已知函数(a为常数).

(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;

(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.

【答案】(1)单调增区间为,单调减区间为.(2)

【解析】试题分析:(1)先确定函数定义域,再求导函数,进而求定义区间上导函数的零点,最后列表分析导函数符号并确定单调区间:增区间为,,减区间为.(2)不等式恒成立问题,一般转化为对应函数最值问题: ,再利用导数研究函数单调性,确定当时有最大值为,即得实数的取值范围.

试题解析:解:(Ⅰ)函数的定义域为

时,

得,

得,

∴函数的单调增区间为

单调减区间为

(Ⅱ)当时, 恒成立,

问题转换为时,

①当时,

上单调递增,

此时无最大值,故不合题意.

②当,令解得,

此时上单调递增,

此时无最大值,故不合题意.

③当时,令解得,

时,

上单调递增,在上单调递减,

上单调递增,

时,

上小于或等于不恒成立,即不恒成立,

不合题意.

时,

而此时上单调递减,

,符合题意.

综上可知,实数的取值范围是

(也可用洛必达法则)

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