题目内容
【题目】设各项均为正数的数列的前
项和为
,满足
,且
,公比大于1的等比数列
满足
,
.
(1)求证数列是等差数列,并求其通项公式;
(2)若,求数列
的前
项和
;
(3)在(2)的条件下,若对一切正整数
恒成立,求实数
的取值
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】试题分析:(1)由与
的关系,可求出
,利用等差数列定义即可证明;(2)根据通项是等差数列与等比数列相乘的特点,用错位相减法求和;(3)可证明数列是单调递减数列,故可转化为
恒成立,利用二次不等式恒成立的方法即可求解.
试题解析:(1)当时,
,
,
,所以
,
.
因为当时,
是公差
的等差数列,
,
,
则是首项
,公差
的等差数列,
所以数列的通项公式为
.
(2)由题意得,
;
则前项和
;
;
相减可得
;
化简可得前项和
;
(3)对一切正整数
恒成立,
由
,
可得数列单调递减,即有最大值为
,
则,解得
或
.
即实数的取值范围为
.
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练习册系列答案
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产品重量(千克) | 10 | 5 | 最大搭载重量110千克 |
预计收益(万元) | 80 | 60 |
如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少?