Question

【题目】已知函数，记为的导函数．

（1）若的极大值为，求实数的值；

（2）若函数，求在上取到最大值时的值；

（3）若关于的不等式在上有解，求满足条件的正整数的集合．

Answer 1

【答案】（1）；（2）时，；时，；（3）.

【解析】分析：（1）利用导数求函数的极大值，再解方程f (x)极大值＝0得到a的值. (2)利用导数求函数的单调区间，再求函数的最大值. (3) 设h (x)＝f(x)－f ′(x)＝2x3－3(a＋2)x2

＋6ax＋3a－2，先把问题转化为h (x)≥0在有解，再研究函数h(x)的图像性质分析出正整数a的集合.

详解：（1）因为f (x)＝2x3－3ax2＋3a－2（a＞0），

所以f'(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)．

令f'(x)＝0，得x＝0或a．

当x∈(－∞，0)时，f'(x)＞0，f (x)单调递增；

当x∈(0，a)时，f'(x)＜0，f (x)单调递减；

当x∈(a，＋∞)时，f'(x)＞0，f (x)单调递增．

故f (x)极大值＝f (0)＝3a－2＝0，解得a＝．

（2）g (x)＝f (x)＋6x＝2x3－3ax2＋6x＋3a－2（a＞0），

则g′(x)＝6x2－6ax＋6＝6(x2－ax＋1)，x∈[0，1]．

①当0＜a≤2时，△＝36(a2－4)≤0，

所以g′(x)≥0恒成立，g (x)在[0，1]上单调递增，

则g (x)取得最大值时x的值为1．

②当a＞2时，g′(x)的对称轴x＝＞1，且△＝36(a2－4)＞0，g′(1)＝6(2－a)＜0，g′(0)＝6＞0，

所以g′(x)在(0，1)上存在唯一零点x0＝．

当x∈(0，x0)时，g′(x)＞0，g (x)单调递增，

当x∈(x0，1)时，g′(x)＜0，g (x)单调递减，

则g (x)取得最大值时x的值为x0＝．

综上，当0＜a≤2时，g (x)取得最大值时x的值为1；

当a＞2时，g (x)取得最大值时x的值为．

（3）设h (x)＝f (x)－f ′(x)＝2x3－3(a＋2)x2＋6ax＋3a－2，

则h (x)≥0在有解．

h′(x)＝6[x2－(a＋2)x＋a]＝6，

因为h′(x)在上单调递减，

因为h′(x)＜h′()＝－a2＜0，

所以h (x)在上单调递减，

所以h()≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．

设t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），则t′ (a)＝3a2－6a－6，

当a∈(0，1＋)时，t′ (a)＜0，t (a)单调递减；

当a∈(1＋，＋∞)时，t′ (a)＞0，t(a)单调递增．

因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a)存在一个零点m∈(0，1)，

因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a)存在一个零点n∈(4，5)，

所以t (a)≤0的解集为[m，n]，

故满足条件的正整数a的集合为{1，2，3，4}．