题目内容
【题目】如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)证明:MN∥平面C1DE;
(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)利用三角形中位线和可证得
,证得四边形
为平行四边形,进而证得
,根据线面平行判定定理可证得结论;(2)以菱形
对角线交点为原点可建立空间直角坐标系,通过取
中点
,可证得
平面
,得到平面
的法向量
;再通过向量法求得平面
的法向量
,利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值,进而可求得所求二面角的正弦值.
(1)连接,
,
分别为
,
中点
为
的中位线
且
又为
中点,且
且
四边形
为平行四边形
,又
平面
,
平面
平面
(2)设,
由直四棱柱性质可知:平面
四边形
为菱形
则以为原点,可建立如下图所示的空间直角坐标系:
则:,
,
,D(0,-1,0)
取中点
,连接
,则
四边形
为菱形且
为等边三角形
又平面
,
平面
平面
,即
平面
为平面
的一个法向量,且
设平面的法向量
,又
,
,令
,则
,
二面角
的正弦值为:
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