题目内容
【题目】过抛物线:
的焦点
做直线
交抛物线于
,
两点,
的最小值为2.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过,
分别做抛物线
的切线,两切线交于点
,且直线
,
分别与
轴交于点
,
,记
和
的面积分别为
和
,求证:
为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)设直线:
,与抛物线方程联立可得韦达定理的形式,进而表示出
,可知当
时,
最小,从而构造出关于
的方程,解得
,进而得到抛物线方程;(2)结合导数求得切线
和
的斜率,得到两直线方程,从而解得
坐标;两直线联立可解得
;由
,
可得到所求的比值为定值.
(1)由题意知,直线的斜率存在,设直线
:
,
,
联立方程得:
,
,
当时,
最小,此时
,即:
抛物线的标准方程为:
(2)由得
,而
,
分别是以
,
为切点的切线
,
直线:
,令
得:
直线:
,令
得
则联立两直线方程,消去得:
,
,
,为定值
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练习册系列答案
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【题目】《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定:机动车行经人行横道时,应当减速慢行;遇到行人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”.下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
不“礼让斑马线”驾驶员人数 | 120 | 105 | 100 | 85 | 90 | 80 |
(Ⅰ)请根据表中所给前5个月的数据,求不“礼让斑马线”的驾驶员人数与月份
之间的回归直线方程
;
(Ⅱ)若该十字路口某月不“礼让斑马线”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5,则称该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.试根据(Ⅰ)中的回归直线方程,判断6月份该十字路口“礼让斑马线”情况是否达到“理想状态”?
(Ⅲ)若从表中3、4月份分别选取4人和2人,再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查,求抽取的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式:
,
.