题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足。
(1)求证:A,B,C三点共线;
(2)若A(1,cosx),B(1+sinx,cosx),且x∈[0, ],函数f(x)=
(2m+
)|
|+m2的最小值为5,求实数m的值。
【答案】(1)见解析(2) m的值为-3或
【解析】试题分析: (1)因为,且
,化简可得
,即
∥
,又
与
有公共点A,则命题成立; (2)根据
和
=
-
求出
,
的坐标,代入解析式f(x),化简可得关于sin x的二次函数,讨论对称轴与区间[0,1]的中点为
的关系,根据单调性分别得出最小值,列出等式求得m的值.
试题解析:
(1)因为,
所以∥
,又
与
有公共点A,
所以A,B,C三点共线。
(2)因为=(1,cosx),
=(1+sinx,cosx),
所以=
+
=(1+
sinx,cosx),
=
-
=(sinx,0),
故·
=1+
sinx+cos2x,|
|=
=sinx,
从而f(x)=·
+(2m+
)|
|+m2=1+
sinx+cos2x+(2m+
)sinx+m2
=cos2x+(2m+1)sinx+1+m2=-sin2x+(2m+1)sinx+2+m2,
关于sin x的二次函数的对称轴为sin x=,
因为x [0,
],所以sin x
[0,1],又区间[0,1]的中点为
。
①当≤
,即m≤0时,当sinx=1时,f(x)min=m2+2m+2,
由f(x)min=5得m=-3或m=1,又m≤0,所以m=-3;
②当>
,即m>0时,当sinx=0时,f(x)min=2+m2,
由f(x)min=5得m=,又m>0,所以m=
。
综上所述:m的值为-3或。
点睛:平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数.
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【题目】某企业想通过做广告来提高销售额,经预测可知本企业产品的广告费x(单位:百万元)与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应数据:
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
由表中的数据得线性回归方程为 =
x+
,其中
=6.5,由此预测当广告费为7百万元时,销售额为万元.
【题目】某某车站在春运期间为了改进服务,随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称购票用时,单位:min).下面是这次抽样的频率分布表和频率分布直方图,解答下列问题:
分组 | 频数 | 频率 | |
一组 | 0≤t<5 | 0 | 0 |
二组 | 5≤t<10 | 10 | |
三组 | 10≤t<15 | 10 | 0.10 |
四组 | 15≤t<20 | ||
五组 | 20≤t<25 | 30 | 0.30 |
合计 | 100 | 1.00 |
(1)这次抽样的样本容量是多少?
(2)在表中填写缺失的数据并补全频率分布直方图.
(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一个小组?
(4)若每增加一个购票窗口可使平均购票用时缩短5 min,要使平均购票用时不超过10 min,那么你估计最少要增加几个窗口?