题目内容
【题目】已知函数.
当
时,试判断函数
在区间
上的单调性,并证明;
若不等式
在
上恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(1)根据函数单调性的证明的定义法,取值,做差,若,
,判符号;(2)方法一,将问题等价于
恒成立,转化为轴动区间定的问题;方法二,变量分离,转化为
恒成立,转化为函数求最值问题.
(1)当时,
,此时
在
上单调递增,证明如下:
对任意的,
,若
,
,
由,故有:
,
,
因此:,
,
故有在
上单调递增;
(2)方法一:不等式在
上恒成立
,
取,对称轴
当时,对称轴
,
∴在
上单调递增,
,
故满足题意,
当时,对称轴
,
又在
上恒成立,
故
解得:,
故
综上所述,实数的取值范围为.
方法二:不等式在
上恒成立
。
取
由结论:定义在上的函数
,当且仅当
时
取得最小值
.
故
。
当且仅当,即
时函数
取得最小值
.
故,即实数的取值范围为
.
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