题目内容
【题目】已知为奇函数,
为偶函数,且
.
(Ⅰ)求函数及
的解析式;
(Ⅱ)用函数单调性的定义证明:函数在
上是减函数;
(Ⅲ)若关于的方程
有解,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ),
(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)
【解析】
试题(1)根据,
的奇偶性便有
,联立
便可解出
及
的解析式;(2)根据减函数的定义,设任意的
,且
,然后作差,可以得出
,根据对数函数的单调性便可得出
,从而得出g(x)在(0,1)上单调递减;(3)求出
,根据
便可得出
的范围,从而得出
的范围,根据对数函数的单调性便可得出
的范围,从而便可得出m的取值范围
试题解析:(Ⅰ)∵为奇函数,
为偶函数,
∴.
又 ①
故,即
②
由①②得:
.
(Ⅱ)设任意的,且
,
则,
因为,所以
所以,即
,所以
0
所以,即函数
在
上是减函数
(Ⅲ)因为,所以
,
设,则
因为的定义域为
,所以
的定义域为
即,所以
, 则
因为关于的方程
有解,则
故的取值范围为
.
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