Question

17．已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n≥2时${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{a_{n-1}}-3，（{a_{n-1}}＞3）\\ 4-{a_{n-1}}，（{a_{n-1}}≤3）\end{array}\right.$，
（1）当a=100时，求数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀；
（2）证明：对于数列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3．
（3）令b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，当2＜a＜3时，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足a₁=100，当n≥2时${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{a_{n-1}}-3，（{a_{n-1}}＞3）\\ 4-{a_{n-1}}，（{a_{n-1}}≤3）\end{array}\right.$，当a_n-1-3＞3，a_n-a_n-1=-3，此时数列{a_n}是等差数列，可得a_n=103-3n．由a_n＞3，解得n≥33．利用其前n项和公式可得S₃₃=1716．当n≥34时，a_n+a_n-1=4，利用其周期性可得S₁₀₀-S₃₃．
（2）由（1）可知：对于数列{a_n}，对于确定的a，若a∈[1，3]，则?k∈N^*，0＜a_k≤3成立．当a∉[1，3]时，可以转化为a_n∈[1，3]，即可证明．
（3）当2＜a＜3时，n≥2时，a_n=4-a_n-1，a₁=a，a₂=4-a，a₃=a，a₄=4-a，…，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{{2}^{n}}，n为奇数}\\{\frac{4-a}{{2}^{n}}，n为偶数}\end{array}\right.$，分类讨论利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）解：∵数列{a_n}满足a₁=100，当n≥2时${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{a_{n-1}}-3，（{a_{n-1}}＞3）\\ 4-{a_{n-1}}，（{a_{n-1}}≤3）\end{array}\right.$，
当a_n-1-3＞3，a_n-a_n-1=-3，此时数列{a_n}是等差数列，首项为100，公差为-3，∴a_n=100-3（n-1）=103-3n．
由a_n＞3，解得n≥33．
∴S₃₃=$\frac{33×（100+4）}{2}$=1716．
当n≥34时，a_n+a_n-1=4，
a₃₄=1，a₃₅=3，a₃₆=1，a₃₇=3，…，
∴S₁₀₀-S₃₃=1+33×（1+3）=133，
∴S₁₀₀=1716+133=1849．
（2）证明：由（1）可知：对于数列{a_n}，对于确定的a，若a∈[1，3]，则?k∈N^*，0＜a_k≤3成立（*）．
当a＞3时，a_n-a_n-1=-3是递减数列，一定k使得a-3m∈[1，3]，则当k∈N^*，且k≥m+1时，0＜a_k≤3成立．
当a＜1时，a_n+a_n-1=4，可得：存在n，使，1≤a_n-1≤3，由（*）可得：存在k∈N^*，0＜a_k≤3成立．
综上可得：对于数列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3．
（3）解：当2＜a＜3时，n≥2时，a_n=4-a_n-1，
a₁=a，a₂=4-a，a₃=a，a₄=4-a，…，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{{2}^{n}}，n为奇数}\\{\frac{4-a}{{2}^{n}}，n为偶数}\end{array}\right.$，
当n=2k（k∈N^*）时，数列{b_n}的前n项和S_2k=$a（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{2k-1}}）$+（4-a）$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{2k}}）$
=$a×\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{k}}）}{1-\frac{1}{4}}$+$（4-a）×\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{k}}）}{1-\frac{1}{4}}$
=$（12-\frac{7a}{3}）$$（1-\frac{1}{{4}^{k}}）$=$（12-\frac{7a}{3}）（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$．
当n=2k-1（k∈N^*）时，数列{b_n}的前n项和S_2k-1=S_2k-$\frac{4-a}{{2}^{2k}}$
=$（12-\frac{7a}{3}）$$（1-\frac{1}{{4}^{k}}）$-$\frac{4-a}{{4}^{k}}$=$12-\frac{7a}{3}$-$（16-\frac{10a}{3}）•\frac{1}{{4}^{k}}$=$12-\frac{7a}{3}$-$（16-\frac{10a}{3}）$•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{（12-\frac{7a}{3}）（1-\frac{1}{{2}^{n}}），n为偶数}\\{（12-\frac{7a}{3}）-（16-\frac{10a}{3}）•\frac{1}{{2}^{n+1}}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．