Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2．若（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$）=0，则|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$|的最小值为$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 第一个空简单，只需将该式子平方即可；第二个空不妨建立直角坐标系，将问题化归为几何问题求解，最终转化为圆上的点到定点的距离的最小值问题．

解答 解：因为|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=4．
故$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2$．
据题意可知cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{2}$，所以$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=60°$．
据此可设$\overrightarrow{a}=（2，0），\overrightarrow{b}=（1，\sqrt{3}）$.$\overrightarrow{c}$=（x，y）．
由已知得（2-x，-y）•（1-2x，$\sqrt{3}$-2y）=0．
化简得$（x-\frac{5}{4}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}=\frac{3}{4}$，所以（x，y）在以$（\frac{5}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}）$为圆心，半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的圆上．
而|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$|表示的是点（x，y）到点（1，$\sqrt{3}$）的距离d．
所以${d}_{min}=\sqrt{（1-\frac{5}{4}）^{2}+（\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了数量积的计算以及向量运算的几何意义，要注意数形结合思想应用．