题目内容
【题目】已知F1、F2分别为双曲线
的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使得
=8a，则双曲线的离心率的取值范围是__________________．
【答案】
【解析】
由题意，根据双曲线的定义和题设条件，求得|PF1|=2a，|PF2|=4a，再由三角形的性质，得到
，求得
，进而求得双曲线的离心率的取值范围。
∵P为双曲线左支上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=﹣2a，∴|PF2|=|PF1|+2a ①，
又
=8a ②，
∴由①②可得|PF1|=2a，|PF2|=4a．
∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即，∴ ③，
又|PF1|+|F1F2|＞|PF2|，∴2a+2c＞4a，∴
＞1 ④．
由③④可得1＜≤3．
故双曲线的离心率的取值范围是(1，3]．
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