题目内容
【题目】如图, 平面
,
平面
,
是等边三角形,
,
是
的中点.
(1)求证: ;
(2)若直线与平面
所成角的正切值为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:⑴证明,
,推出
平面
,然后证明
;
⑵以点为坐标原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,过
且与直线
平行的直线为
轴,建立空间直角坐标系
,说明
为直线
与平面
所成角,设
,求出相关点的坐标,求出平面
与平面
的法向量,利用空间向量的数量积求解即可;
解析:(1)因为是等边三角形,
是
的中点,所
.
因为平面
,
平面
,所以
.
因为,所以
平面
.
因为平面
,所以
.
(2)法1:以点为坐标原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,过
且与直线
平行的直线为
轴,建立空间直角坐标系
.
因为平面
,所以
为直线
与平面
所成角.
得,即
,从而
.
不妨设,又
,则
,
.故
,
,
,
.于是
,
,
,
,设平面
与平面
的法向量分别为
,
,由
得
令
,得
,
所以.由
得
令
得
,
.所以
.
所以.
所以二面角的余弦值为
.
法2:因为平面
,所以
为直线
与平面
所成角.
由题意得,即
,从而
.
不妨设,又
,
,
,
.
由于平面
,
平面
,则
.
取的中点
,连接
,则
.
在中,
,
在中,
,
在中,
,
取的中点
,连接
,
,
,
则,
. 所以
为二面角
的平面角.
在中,
,在
中,
,
在中,
,因为
,
所以.所以二面角
的余弦值
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某动漫影视制作公司长期坚持文化自信,不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材,创作出一批又一批的优秀动漫影视作品,获得市场和广大观众的一致好评.同时也为公司赢得丰厚的利润,该公司2013年至2019年的年利润关于年份代号
的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关)
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
年利润 | 29 | 33 | 36 | 44 | 48 | 52 | 59 |
(1)求关于
的线性回归方程,并预测该公司2020年的年利润;
(2)当统计表中某年年利润的实际值大于由(1)中线性回归方程计算出该年利润的估计值时,称该年为A级利润年,否则称为B级利润年.现从2015年至2019年这5年中随机抽取2年,求恰有1年为A级利润年的概率.
参考公式:,
【题目】2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年,有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过抽样,得到参与问卷调查中的1000人的得分数据,其频率分布直方图如图所示:
(Ⅰ)估计该组数据的中位数、众数;
(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ,210),μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布,求P(50.5<Z<94);
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,有关部门为此次参加问卷调査的市民制定如下奖励方案:
(i)得分不低于μ可获赠2次随机话费,得分低于μ则只有1次;
(ii)每次赠送的随机话费和对应概率如下:
赠送话费(单元:元) | 10 | 20 |
概率 |
现有一位市民要参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加.问卷调查获赠的话费,求X的分布列和数学期望.
附: ,
若ZN(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)= 0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.