题目内容

【题目】如图,在△ABC中,已知CA=1,CB=2,∠ACB=60°.

(1)求||;

(2)已知点D是AB上一点,满足,点E是边CB上一点,满足

①当λ=时,求

②是否存在非零实数λ,使得?若存在,求出的λ值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)①

【解析】

(1)利用余弦定理求出的长即得||
(2)① 时,分别是的中点,表示出,利用向量的数量积计算即可;
②假设存在非零实数,使得,利用分别表示出

求出 时的值即可.

(1)

(2)①λ=时, = =

D、E分别是BC,AB的中点,

=+=+

=+),

=(++

=+++

=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22 =

假设存在非零实数λ,使得

,得=λ(),

=+=+λ()=λ+(1﹣λ)

=+=()+λ(﹣)=(1﹣λ)

=λ(1﹣λ)﹣λ+(1﹣λ)2﹣(1﹣λ)

=4λ(1﹣λ)﹣λ+(1﹣λ)2﹣(1﹣λ)

=﹣3λ2+2λ=0,

解得λ=或λ=0(不合题意,舍去);

即存在非零实数λ=,使得

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