题目内容
【题目】如图,在△ABC中,已知CA=1,CB=2,∠ACB=60°.
(1)求||;
(2)已知点D是AB上一点,满足=λ
,点E是边CB上一点,满足
=λ
.
①当λ=时,求
;
②是否存在非零实数λ,使得⊥
?若存在,求出的λ值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)①
②
【解析】
(1)利用余弦定理求出的长即得|
|;
(2)① 时,
分别是
的中点,表示出
,
,利用向量的数量积计算即可;
②假设存在非零实数,使得
⊥
,利用
分别表示出
和
求出 时的
值即可.
(1) 且
(2)①λ=时,
=
,
=
,
∴D、E分别是BC,AB的中点,
∴=
+
=
+
,
=
(
+
),
∴=(
+
)
(
+
)
=+
+
+
=﹣×12+
×1×2×cos120°+
×2×1×cos60°+
×22 =
;
②假设存在非零实数λ,使得⊥
,
由=λ
,得
=λ(
﹣
),
∴=
+
=
+λ(
﹣
)=λ
+(1﹣λ)
;
又=λ
,
∴=
+
=(
﹣
)+λ(﹣
)=(1﹣λ)
﹣
;
∴=λ(1﹣λ)
﹣λ
+(1﹣λ)2
﹣(1﹣λ)
=4λ(1﹣λ)﹣λ+(1﹣λ)2﹣(1﹣λ)
=﹣3λ2+2λ=0,
解得λ=或λ=0(不合题意,舍去);
即存在非零实数λ=,使得
⊥
.
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