题目内容
【题目】如图,在△ABC中,已知CA=1,CB=2,∠ACB=60°.
(1)求||;
(2)已知点D是AB上一点,满足=λ,点E是边CB上一点,满足=λ.
①当λ=时,求;
②是否存在非零实数λ,使得⊥?若存在,求出的λ值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)①②
【解析】
(1)利用余弦定理求出的长即得||;
(2)① 时,分别是的中点,表示出,,利用向量的数量积计算即可;
②假设存在非零实数,使得⊥,利用分别表示出 和
求出 时的值即可.
(1) 且
(2)①λ=时, =, =,
∴D、E分别是BC,AB的中点,
∴=+=+,
=(+),
∴=(+)(+)
=+++
=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22 =;
②假设存在非零实数λ,使得⊥,
由=λ,得=λ(﹣),
∴=+=+λ(﹣)=λ+(1﹣λ);
又=λ,
∴=+=(﹣)+λ(﹣)=(1﹣λ)﹣;
∴=λ(1﹣λ)﹣λ+(1﹣λ)2﹣(1﹣λ)
=4λ(1﹣λ)﹣λ+(1﹣λ)2﹣(1﹣λ)
=﹣3λ2+2λ=0,
解得λ=或λ=0(不合题意,舍去);
即存在非零实数λ=,使得⊥.
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