Question

8．研究某设备的使用年限x与保养和维修费用y之间的关系，测得一组数据如下

年限x（年）	2	3	4	5	6
保养和维修费用y（万元）	3	3.5	5	6.5	7

由数据可知y与x有明显的线性相关关系，附参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2-n{\overline{x}}^{2}}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$
（1）将表中的数据画成散点图：
（2）试预测第7年的设备保养和维修费用．

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据，描点可得散点图；
（2）根据最小二乘法求出线性回归方程，当自变量为7时，代入线性回归方程，求出维修费用，这是一个预报值

解答 解：（1）由表中的数据得到散点图如下图所示：

（2）∵$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+3+4+5+6）=4，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（3+3.5+5+6.5+7）=5，
$\sum _{i=1}^{5}$x_iy_i=2×3+3×3.5+4×5+5×6.5+6×7=111，$\sum _{i=1}^{5}$x_i²=4+9+16+23+36=90
∴$\hat{b}$=$\frac{\sum _{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{xy}}{\sum _{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{111-5×4×5}{90-5×4×4}$=1.1，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=5-1.1×4=0.6，
∴线性回归方程$\hat{y}$=1.1x+0.6，
当使用年限为7年时$\hat{y}$=1.1×7+0.6=8.3（万元）
因此估计使用年限为7年时维修费用是8.3万元．

点评 本题考查线性回归方程，考查最小二乘法，考查预报值的求法，是一个新课标中出现的新知识点，已经在广东的高考卷中出现过类似的题目．