Question

19．已知函数f（x）=$\frac{bx+c}{x+1}$的图象过原点，且关于点（-1，2）成中心对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=f（a_n），试证明数列{$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$}成等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过将点（0，0）、（-2，4）代入函数f（x）=$\frac{bx+c}{x+1}$，计算即得结论；
（2）通过（1）代入计算可知a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，变形可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），进而计算即得结论．

解答 （1）解：∵函数f（x）=$\frac{bx+c}{x+1}$的图象过原点，
∴f（0）=0，即c=0，
∴f（x）=$\frac{bx}{x+1}$，
又∵函数f（x）=$\frac{bx}{x+1}$关于点（-1，2）成中心对称，
∴f（-2）=4，即$\frac{-2b}{-2+1}$=4，∴b=2，
∴函数f（x）的解析式f（x）=$\frac{2x}{x+1}$；
（2）证明：由（1）可知：a_n+1=f（a_n）=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$，
整理得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$，a_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$=$\frac{\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}}{\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}-1}$=2ⁿ，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$}是首项、公比均为2的等比数列．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．