题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底,
为常数,
)有两个极值点
,且
.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)若恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】
(Ⅰ)首先通过导数运算将极值点问题转化为方程解的问题,从而转化成两个函数图像交点问题,再根据导数的应用确定函数的极值点、单调性,从而画出简图,判断出所求范围;(Ⅱ)首先根据隐含条件消元,将不等式转化为关于的不等式,从而构造函数,建立函数模型,再通过分类讨论该函数的单调性,确定实数
的取值范围.
(Ⅰ),由
得
,
依题意,该方程有两个不同正实数根,记,则
,
当时,
;当
时,
,
所以函数在
处取得最小值
,所以
的取值范围是
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:,且
,所以
,
,所以
,
因此恒成立,即
恒成立,
即,设
,即
在
上恒成立,
从而,记
,
,
,
① 当时,
,所以
,从而
,
则在区间
上单调递减,所以当
时,
恒成立;
② 时,
等价于
,
,
所以有两根
,且
,可以不妨设
,
在
时成立,所以
在区间
上单调递增,当
时,
,即
在
上不恒成立,
综上,的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】据史载知,新华网:北京2008年11月9日电,国务院总理温家宝主持召开国务院常务会议.研究部署进一步扩大内需促进经济平稳较快增长的措施,以应对日趋严峻的全球性世界经济金融危机,在提高城乡居民特别是低收入人群的收入水平政策措施的刺激下,某零售店当时近5个月的销售额和利润额数据统计如下表:
月份 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
销售额x/千万元 | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利润额y/百万元 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
(1)若x与y之间是线性相关关系,求利润额y关于销售额x的线性回归方程;
(2)若9月份的销售额为8千万元,试利用(1)的结论估计该零售店9月份的利润额.
参考公式:,
.