题目内容
【题目】已知抛物线
：
的焦点为
，过且斜率为
的直线
与抛物线交于
，
两点，在
轴的上方，且点的横坐标为4.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设点
为抛物线上异于，的点，直线
与
分别交抛物线的准线于
，
两点，轴与准线的交点为
，求证：
为定值，并求出定值.
【答案】（1）
（2）见证明
【解析】
（1）先由题意得到
，
，根据
的斜率为，求出
，即可得出抛物线方程；
（2）先由（1）的结果，得到
点坐标，设点
，结合题意，求出
与
，计算其乘积，即可得出结论成立.
（1）由题意得：，
因为点
的横坐标为4，且在
轴的上方，
所以，
因为的斜率为
，
所以
，整理得：
，
即
，得，
抛物线
的方程为：.
（2）由（1）得：
，
，淮线方程
，
直线
的方程：
，
由
解得
或
，于是得
.
设点，又题意
且
,
所以直线
：
，令，得
，
即
，
同理可得：
，
.
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