题目内容
【题目】某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳
元(为常数，
)的管理费．根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为
元时，产品一年的销售量为
为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元．
（Ⅰ）求分公司经营该产品一年的利润
万元与每件产品的售价元的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润最大，并求的最大值．
【答案】(1) L(x)= 500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)；(2) 当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；当4<a≤5时，每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9－a万元.
【解析】
试题分析:（1）先根据条件求出k，再根据利润等于销售量乘以单个利润得函数解析式，最后交代定义域（2）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间关系分类讨论，确定导函数符号，进而确定最大值
试题解析：(1)由题意，该产品一年的销售量为y＝
.
将x＝40，y＝500代入，得k＝500e40.
故该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y＝500e40－x.
所以L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)．
(2)由(1)得，L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x]＝500e40－x(31＋a－x)．
①当2≤a≤4时，L′(x)≤500e40－x(31＋4－35)＝0，
当且仅当a＝4，x＝35时取等号．
所以L(x)在[35，41]上单调递减．
因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5.
②当4<a≤5时，L′(x)>035≤x<31＋a，
L′(x)<031＋a<x≤41.
所以L(x)在[35，31＋a)上单调递增，在[31＋a，41]上单调递减．
因此，L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a.
综上所述当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；
当4<a≤5时，每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9－a万元．
