题目内容
【题目】如图1,在长方形中,
为
的中点,
为线段
上一动点.现将
沿
折起,形成四棱锥
.
图1 图2 图3
(Ⅰ)若与
重合,且
(如图2).
(ⅰ)证明:平面
;
(ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅱ)若不与
重合,且平面
平面
(如图3),设
,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(ⅰ)证明见解析,(ⅱ);(Ⅱ)
.
【解析】
①先证明
平面
得
,再由
,即可证明结论
②先作出二面角的平面角,然后解三角形
由立体图形还原到平面图,设
,运用勾股定理求出
的表达式,然后求出范围
(ⅰ)由与
重合,则有
,
因为,
平面
,
,
,所以
平面
.
(ⅱ)由平面
,
平面
,故平面
平面
,
作于
,作
于
,连接
.
因为,平面
平面
,
为交线,故
平面
,
故,又
,故
平面
,所以
为所求角.
易求得在
中,可求得
,故
,
.
(Ⅱ) 如图,作于
,作
于
,连接
.
由平面平面
且
可得
平面
,故
,由
可得
平面
,故在平面图形中,
三点共线且
.
设,由
,故
,
,所以
,
.
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