Question

【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=BC=2，∠CBA=∠PBC=60°，Q为线段BC的中点．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）求点Q到平面PAC的距离．

Answer 1

【答案】证明：（1）∵在△ABC中，BC=AB，∠CBA=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵Q为BC的中点，
∴AQ⊥BC，
同理在等边△BPC中，PQ⊥BC，
∵QA∩QC=Q，
∴BC⊥平面PAQ，
∵AP平面PAQ，
∴BC⊥PA；
（2）设点Q到平面PAC的距离为h，由（1）得QA=QP=，
∵AP=2，
∴S△QPA=×2×=，
∵BC⊥平面PAQ，且CQ=1，
∴VC﹣PAQ=××1=，
∵AC=AP=PC=2，
∴S△PAC=×2×2×sin60°=，
∴VQ﹣PAC=××h，
∵VC﹣PAQ=VQ﹣PAC ，
∴=××h，
解得：h=，
则点Q到平面PAC的距离为．
【解析】（1）由题意得到三角形ABC为等边三角形，由Q为BC中点，得到AQ垂直于BC，同理得到三角形BPC为等边三角形，得到PQ垂直于BC，由AQ与QC交于Q，得到BC与平面APQ垂直，而AP属于平面PAQ，即可得到PA与BC垂直；
（2）设点Q到平面PAC的距离为h，根据VQ﹣ACP=VC﹣APQ ， 利用体积法求出h，即为点Q到平面PAC的距离。