题目内容
【题目】设函数f(x)=ax2﹣a﹣lnx,其中a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x∈(1,+∞)时,xf(x)+xe1﹣x>1恒成立,求a的取值范围.(其中,e=2.718…为自然对数的底数).
【答案】
(1)解:由题意,f′(x)=2ax﹣ = ,x>0,
①当a≤0时,2ax2﹣1≤0,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②当a>0时,f′(x)= ,当x∈(0, )时,f′(x)<0,
当x∈( ,+∞)时,f′(x)>0,
故f(x)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增.
(2)解:原不等式等价于f(x)﹣ +e1﹣x>0在x∈(1.+∞)上恒成立,
一方面,令g(x)=f(x)﹣ +e1﹣x=ax2﹣lnx﹣ +e1﹣x﹣a,
只需g(x)在x∈(1.+∞)上恒大于0即可,
又∵g(1)=0,故g′(x)在x=1处必大于等于0.
令F(x)=g′(x)=2ax﹣ + ﹣e1﹣x,g′(1)≥0,可得a≥ ,
另一方面,当a≥ 时,F′(x)=2a+ ﹣ +e1﹣x≥1+ ﹣ +e1﹣x= +e1﹣x,
∵x∈(1,+∞),故x3+x﹣2>0,又e1﹣x>0,故F′(x)在a≥ 时恒大于0.
∴当a≥ 时,F(x)在x∈(1,+∞)单调递增.
∴F(x)>F(1)=2a﹣1≥0,故g(x)也在x∈(1,+∞)单调递增.
∴g(x)>g(1)=0,即g(x)在x∈(1,+∞)上恒大于0.
综上,a≥ .
【解析】(1)利用导数的运算法则得出f′(x),通过对a分类讨论,利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性;(2)令g(x)=f(x)﹣ +e1﹣x=ax2﹣lnx﹣ +e1﹣x﹣a,可得g(1)=0,从而g′(1)≥0,解得得a≥ ,当a≥ 时,可得F′(x)在a≥ 时恒大于0,即F(x)在x∈(1,+∞)单调递增.由F(x)>F(1)=2a﹣1≥0,可得g(x)也在x∈(1,+∞)单调递增,进而利用g(x)>g(1)=0,可得g(x)在x∈(1,+∞)上恒大于0,综合可得a所有可能取值.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能得出正确答案.