Question

【题目】过抛物线y＝焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y＝－1上，若△ABC为正三角形，则其边长为

A. 11 B. 13 C. 14 D. 12

Answer 1

【答案】D

【解析】

设出点的坐标，联立直线与抛物线的方程，结合等边三角形的性质和抛物线的弦长公式整理计算即可求得最终结果.

抛物线焦点为(0,1)，设，线段AB的中点，

很明显直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线方程为y=kx+1，

由,消y可得x24kx4=0，

∴x1+x2=4k，

∴y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，

∴|AB|=y1+y2+2=4k2+4，

∴x0=2k,y0=2k2+1，

∴D(2k,2k2+1)，

∴线段AB的垂直平分线的方程为y2k21=(x2k)，

即y=x+2k2+3，令y=1,则x=2k3+4k，∴C(2k3+4k,1)

∴点C到直线AB的距离，

∵△ABC为正三角形，∴，

∴，

整理可得k2=2，∴|AB|=4k2+4=12.

本题选择D选项.