Question

【题目】已知f（x）=ex﹣ax2﹣2x+b（e为自然对数的底数，a，b∈R）
（1）设f′（x）为f（x）的导函数，求f′（x）的递增区间；
（2）当a＞0时，证明：f′（x）的最小值小于零；
（3）若a＜0，f（x）＞0恒成立，求符合条件的最小整数b．

Answer 1

【答案】
（1）解：令g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣2，则g′（x）=ex﹣2a

当a≤0 时，g′（x）＞0恒成立，此时f′（x）的单调递增区间是（﹣∞，+∞）；

当a＞0，令g′（x0）=0，解得x0=ln2a，

则当x＜ln2a时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；

当x＞ln2a时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；

综上所述，当a≤0时，f′（x）的单调递增区间是（﹣∞，+∞）；

当a＞0时，f′（x）的单调递增区间是（ln2a，+∞）

（2）证明：由（1）可知，当a＞0时，x0=ln2a时，f′（x）有最小值，

则f′（x）min=g（x）min=g（ln2a）=eln2a﹣2aln2a﹣2=2a﹣2aln2a﹣2

令G（x）=x﹣xlnx﹣2（x＞0），G′（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx，

当x∈（0，1）时，G′（x）＞0，G（x）单调递增；

当x∈（1，+∞）时，G′（x）＜0，G（x）单调递减，

∴G（x）max=G（1）=﹣1＜0，∴f′（x）min＜0成立

（3）解：f（x）＞0恒成立，等价于f（x）min＞0恒成立．

令g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣2，则g′（x）=ex﹣2a，

∵a＜0，∴g′（x）＞0，g（x）单调递增，

又g（0）=﹣1＜0，g（1）=e﹣2a＞0，

∴存在x0∈（0，1），使得g（x0）=0

则x＜x0时，g（x）=f′（x）＜0，f（x）单调递减；

x＞x0时，g（x）=f′（x）＞0，f（x）单调递增；

∴f（x）min=f（x0）=ex0﹣ax02﹣2x0+b＞0恒成立，且ex0﹣2ax0﹣2=0

由上可知，b＞﹣ex0+ax02+2x0=﹣ex0+x0（ ﹣1）+2x0=（ ﹣1）ex0+x0

又可得，a= ＜0，∴x0∈（0，ln2）

令m（x）=（ x﹣1）ex+x，x∈（0，ln2），

令n（x）=m′（x）= （x﹣1）ex+1，n′（x）= xex＞0，

∴n（x）＞n（0）= ＞0，∴m（x）单调递增，m（x）＞m（0）=（﹣1）e0=﹣1，

m（x）＜m（ln2）=（ ﹣1）eln2+ln2=2ln2﹣2

∴b＞﹣1，∴符合条件的最小整数b=0

【解析】（1）令g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣2，求得g（x）导数，讨论当a≤0 时，当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）f′（x）min=g（x）min=g（ln2a）=eln2a﹣2aln2a﹣2=2a﹣2aln2a﹣2，令G（x）=x﹣xlnx﹣2（x＞0），求得导数和单调区间，可得G（x）的最大值，即可得证；（3）f（x）＞0恒成立，等价于f（x）min＞0恒成立．令g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣2，求出g（x）的零点所在区间，得到f（x）的单调区间和最小值，即f（x）min=f（x0）=ex0﹣ax02﹣2x0+b＞0恒成立，且ex0﹣2ax0﹣2=0，再由参数分离和构造函数法，即可得到b的范围，进而得到最小整数b．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．