Question

【题目】已知函数f(x)＝x2＋ (x≠0，a∈R)．

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；

当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

(2)解法一 设x2＞x1≥2，f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝ [x1x2(x1＋x2)－a]，由x2＞x1≥2，得x1x2(x1＋x2)＞16，x1－x2＜0，x1x2＞0.

要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)＜0，

即x1x2(x1＋x2)－a＞0恒成立，则a≤16.

故a的取值范围是(－∞，16]．

解法二 f′(x)＝2x－，要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x≥2时，f′(x)≥0恒成立，即2x－≥0，则a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．故a的取值范围是(－∞，16]．