题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,侧棱
底面
,底面
为长方形,且
,
是
的中点,作
交
于点
.
(1)证明:平面
;
(2)若三棱锥的体积为
,求直线
与平面
所成角的正弦值;
(3)在(2)的条件下,求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
.
【解析】分析:(1)推导出,
,从而
平面
,进而
,再证出
,从而
平面
,
,再由
,能证明
平面
.
(2)由两两垂直,以
为坐标原点,建立空间直角坐标系
,利用向量法能求出直线
与平面
所成角的正弦值.
(3)求出平面的法向量和平面PBC的法向量,利用向量法能求出二面角D-BP-C的余弦值.
详解:
(1)证明:∵底面
,
平面
,∴
,
由于底面为长方形,∴
,而
,
∴平面
,
∵平面
,∴
,
∵,
为
的中点,∴
,
∵,∴
平面
,
∴,又
,
,
∴平面
.
(2)由题意易知两两垂直,以
为坐标原点,建立如图空间直角坐标系
,可得
,
设,则有
,∴
∴,
∴,
设直线与平面
所成角为
,且由(1)知
为平面
的法向量
∴
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
(3)由(2)知,
,
设平面的法向量
,由
,则
令,则
,
∴
由(1)平面
,
∴为平面PBC的法向量,
设二面角为
,则
所以二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品,为了检测两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各随机抽取了100件产品作为样本来检测一项质量指标值,若产品的该项质量指标值落在内,则为合格品,否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的频数分布表,图是乙套设备的样本的频率分布直方图.
表甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值 | ||||||
频数 | 2 | 10 | 36 | 38 | 12 | 2 |
(1)将频率视为概率.若乙套设备生产了10000件产品,则其中的合格品约有多少件?
(2)填写下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
甲套设备 | 乙套设备 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
附表及公式:,其中
;
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】手机厂商推出一款6寸大屏手机,现对500名该手机使用者(200名女性,300名男性)进行调查,对手机进行评分,评分的频数分布表如下:
女性用户 | 分值区间 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
频数 | 20 | 40 | 80 | 50 | 10 | |
男性用户 | 分值区间 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
频数 | 45 | 75 | 90 | 60 | 30 |
(1)完成下列频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的波动大小(不计算具体值,给出结论即可);
(2)把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”,能否有的把握认为“评分良好用户”与性别有关?
参考附表:
参考公式,其中