题目内容
【题目】已知圆,直线
(1)求证:直线过定点;
(2)求直线被圆
所截得的弦长最短时
的值;
(3)已知点,在直线MC上(C为圆心),存在定点N(异于点M),满足:对于圆C上任一点P,都有
为一常数,试求所有满足条件的点N的坐标及该常数.
【答案】(1)直线过定点
(2)
(3)在直线上存在定点
,使得
为常数
【解析】分析:(Ⅰ)利用直线系方程的特征,直接求解直线l过定点A的坐标.
(Ⅱ)当AC⊥l时,所截得弦长最短,由题知,r=2,求出AC的斜率,利用点到直线的距离,转化求解即可.
(Ⅲ)由题知,直线MC的方程为,假设存在定点N
满足题意,
则设P(x,y),,得
,且
,求出λ,然后求解比值.
详解:(Ⅰ)依题意得,
令且
,得
直线
过定点
(Ⅱ)当时,所截得弦长最短,由题知
,
,得
,
由
得
(Ⅲ)法一:由题知,直线的方程为
,假设存在定点
满足题意,
则设,
,得
,且
整理得,
上式对任意
恒成立,
且
解得 ,说以
(舍去,与
重合),
综上可知,在直线上存在定点
,使得
为常数
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