Question

【题目】设函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有两个零点，；

（i）求满足条件的最小正整数的值.

（ii）求证：.

Answer 1

【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）（i）；（ii）见解析.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）求单调区间，只要求得导数，通过讨论的范围（和）可解不等式和不等式，从而得单调区间；

（Ⅱ）(1)求得，由有两个零点得，的最小值为，且， 由此可得，由函数是增函数，通过估值可得最小正整数的值；（2）证明，设，由，可把用表示，不等式中的可替换，然后变形为的不等式，设，则，只要证相应地关于的不等式在上成立，这又可用导数研究相应的函数得出．

试题解析：

（Ⅰ）．

当时， 在上恒成立，所以函数单调递增区间为，

此时 无单调减区间．

当时，由，得，，得，

所以函数的单调增区间为，单调减区间为.

（Ⅱ）（1）．

因为函数有两个零点，所以，此时函数在单调递增， 在单调递减.

所以的最小值，即.

因为，所以.

令，显然在上为增函数，且

，所以存在.

当时，；当时，，所以满足条件的最小正整数.

又当时，，所以时，有两个零点．

综上所述，满足条件的最小正整数的值为3.

（2）证明 ：不妨设，于是

即，

．

所以.

因为，当时，，当时，，

故只要证＞即可，即证明，

即证，

也就是证.

设．

令，则.

因为，所以，

当且仅当时，，

所以在上是增函数．

又，所以当总成立,所以原题得证．