题目内容
已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在其定义域内为增函数,求正实数的取值范围;
(3)设函数,若在上至少存在一点,使得>成立,求实数的取值范围.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在其定义域内为增函数,求正实数的取值范围;
(3)设函数,若在上至少存在一点,使得>成立,求实数的取值范围.
(1);(2)实数的取值范围是;(3)实数的取值范围.
试题分析:(1)求的导数,找出处的导数即切线的斜率,由点斜式列出直线的方程即可;(2)求出函数的定义域,在定义域内利用导数与函数增减性的关系,转化为恒成立问题进行求解即可;(3)讨论在定义域上的最值,分情况讨论的增减性,进而解决存在成立的问题即可.
(1)当时,函数,
,曲线在点处的切线的斜率为
从而曲线在点处的切线方程为,即 3分
(2)
令,要使在定义域内是增函数,只需在内恒成立
由题意,的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为
∴, 只需,即时,
∴在内为增函数,正实数的取值范围是 7分
(3)∵在上是减函数
∴时,;时,,即
①当时,,其图象为开口向下的抛物线,对称轴在轴的左侧,且,所以在内是减函数
当时,,因为,所以,
此时,在内是减函数
故当时,在上单调递减,不合题意
②当时,由,所以
又由(Ⅱ)知当时,在上是增函数
∴,不合题意 12分
③当时,由(Ⅱ)知在上是增函数,
又在上是减函数,故只需,
而,
即,解得
所以实数的取值范围是 15分.
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