题目内容
【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置,使得A′C=2 .
(1)求五棱锥A′﹣BCDFE的体积;
(2)求平面A′EF与平面A′BC的夹角.
【答案】
(1)解:连接AC,设AC∩EF=H,
由ABCD是正方形,AE=AF=4,
得H是EF的中点,
且EF⊥AH,EF⊥CH,
从而有A′H⊥EF,CH⊥EF,
∴EF⊥平面A′HC,
从而平面A′HC⊥平面ABCD,
过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O,
则A′O⊥平面ABCD.
∵正方形ABCD的边长为6,AE=AF=4,
得到: ,CH=4
,
∴cos∠A′HC= =
,
∴HO= ,
,
∴五棱锥A′﹣BCDFE的体积V= =
(2)解:由(1)得A′O⊥平面ABCD,且CO=3 ,即点O是AC,BD的交点,
如图以点O为原点,OA,OB,OA′所在直线分别为x轴,y轴,z轴,
建立空间直角坐标系,
则由题意知 ,B(0,3
,0),C(﹣3
,0,0),D(0,﹣3
,0),
E( ,2
,0),F(
,﹣2
,0),
,
∴ ,
,
,
,
设平面A′EF的法向量为 =(x,y,z),
则 ,
取x= ,得
,
设平面A′BC的法向量 ,
则 ,
令y1=1,得 =(﹣1,1,
),
∴cos< >=0,即平面A′EF与平面A′BC夹角是
【解析】(1)连接AC,设AC∩EF=H,由已知条件推导出平面A′HC⊥平面ABCD,过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O,则A′O⊥平面ABCD,由此能求出五棱锥A′﹣BCDFE的体积.(2)由(1)得A′O⊥平面ABCD,且CO=3 ,即点O是AC,BD的交点,以点O为原点,OA,OB,OA′所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面A′EF与平面A′BC夹角.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中,从男生中随机抽取了70人,从女生中随机抽取了50人,男生中喜欢数学课程的占,女生中喜欢数学课程的占
,得到如下列联表.
喜欢数学课程 | 不喜欢数学课程 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
(1)请将列联表补充完整;试判断能否有90%的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关;
(2)从不喜欢数学课程的学生中采用分层抽样的方法,随机抽取6人,现从6人中随机抽取2人,求抽取的学生中至少有1名是女生的概率..
附:,其中
.
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |