题目内容

【题目】一个多面体的直观图(图1)及三视图(图2)如图所示,其中M,N分别是AF,BC的中点

(1)求证:MN∥平面CDEF:
(2)求二面角A﹣CF﹣B的余弦值;

【答案】
(1)证明:由三视图知,

该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF,

且AB=BC=BF=4,DE=CF= ,∠CBF=90°,

连结BE,M在BE上,连结CE

EM=BM,CN=BN,所以MN∥CE,CE面CDEF,

所以MN∥平面CDEF.


(2)解法一:作BQ⊥CF于Q,连结AQ,

面BFC⊥面ABFE,面ABFE∩面BFC=BF,

AB面ABFE,AB⊥BF,

∴AB⊥面BCF,

CF面BCF,∴AB⊥CF,BQ⊥CF,AB∩BQ=B,

∴CF⊥面ABQ,AQ面ABQ,

AQ⊥CF,∴∠AQB为所求的二面角的平面角,

在Rt△ABQ中,tan∠AQB= = =

∴cos

∴二面角A﹣CF﹣B的余弦值为

解法二:以EA,AB,AD所在直线为x轴,y轴,z轴,

建立空间直角坐标系,

A(0,0,0),B(0,4,0),C(0,4,4),F(﹣4,4,0),

面CBF法向量为

设面ACF法向量为

取z=﹣1,所以

设二面角为θ,

∴二面角A﹣CF﹣B的余弦值为


【解析】(Ⅰ)由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF,且AB=BC=BF=4,DE=CF= ,∠CBF=90°,由此能证明MN∥平面CDEF.(Ⅱ)(法一)作BQ⊥CF于Q,连结AQ,由已知得AB⊥面BCF,AB⊥CF,BQ⊥CF,∠AQB为所求的二面角的平面角,由此能求出二面角A﹣CF﹣B的余弦值.(Ⅱ)(法二):以EA,AB,AD所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣CF﹣B的余弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.

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