题目内容
【题目】已知函数
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）当
，函数
，证明：
存在唯一的极大值点
，且
.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）求导，讨论a≤0和a>0 时f′（x）的正负确定单调性
（2）求导g′（x）＝2x﹣2﹣lnx，构造新函数t（x）＝2x﹣2﹣lnx，求导利用零点存在定理得g（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，结合g（x0）
x0﹣x0lnx0整理为二次函数证明即可
（1）解：因为f（x）＝ax﹣a﹣lnx（x＞0），
求导：f′（x）＝a
.
则当a≤0时f′（x）＜0，即y＝f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当a>0时，f′（x）＜0 , 0＜x
，f′（x）＞0则 x
所以，y＝f（x）在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当a≤0时，y＝f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a>0时，y＝f（x）在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由（1）可知g（x）＝x2﹣x﹣xlnx，g′（x）＝2x﹣2﹣lnx，
令g′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，记t（x）＝2x﹣2﹣lnx，则t′（x）＝2，
令t′（x）＝0，解得：x
，
所以t（x）在区间（0，
）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，t（
）＝
， t（1）＝0从而t（x）＝0有两解，即g′（x）＝0存在两根x0，1，
则g′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，1）上为负、在（1，+∞）上为正，
所以g（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，
所以g（x0）x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2
x0
，
由x0
可知g（x0）＜（x0）max
；
【题目】
两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个校区每位同学的往返车费及服务老人的人数如下表：
|
| |
往返车费 | 3元 | 5元 |
服务老人的人数 | 5人 | 3人 |
根据安排，去敬老院的往返总车费不能超过37元，且
小区参加献爱心活动的同学比
小区的同学至少多1人，则接受服务的老人最多有____人.
