题目内容

10.已知正方形ABCD的边长为2,点E是AB边上的动点,
(1)求$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CB}$的值
(2)求$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DC}$的最大值.

分析 (1)设∠ADE=θ,根据平面向量的数量积公式得到所求;
(2)设∠EDC=α,由数量积公式分析$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DC}$的最大值的意义.

解答 解:(1)设∠ADE=θ,根据平面向量的数量积公式$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DA}$=$|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{DA}|cosθ$,
由正方形ABCD的边长为2,点E是AB边上的动点可知,$|\overrightarrow{DE}|•cosθ=|\overrightarrow{DA}|$,
因此$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CB}=|\overrightarrow{DA}{|^2}=4$;
(2)设∠EDC=α,$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DC}=|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{DC}|cosα$=2$|\overrightarrow{DE}|•cosα$,而$|\overrightarrow{DE}|•cosα$就是向量$\overrightarrow{DE}$在$\overrightarrow{DC}$边上的射影,
要想让$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DC}$最大,即让射影最大,此时E点与B点重合,射影为$\overrightarrow{DC}$,所以$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{DC}$的最大值为2.

点评 本题考查了向量的数量积公式的运用;熟练掌握公式是关键.

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