题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）有两个顶点在直线x+2y-2=0上
（1）求椭圆C的方程；
（2）当直线l：y=x+m与椭圆C相交时，求m的取值范围；
（3）设直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若以为AB直径的圆过原点，求m的值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）当直线l：y=x+m与椭圆C相交时，求m的取值范围；
（3）设直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若以为AB直径的圆过原点，求m的值．
（1）直线x+2y-2=0与坐标轴交于两点（2，0），（0，1），
∴a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为
+y2=1；
（2）直线y=x+m代入椭圆方程，消去y整理得：5x2+8mx+4m2-4=0，
∵直线l：y=x+m与椭圆C相交，
∴△=（8m）2-4×5×（4m2-4）＞0，
即-16m2+80＞0，解得-
＜m＜
．
（3）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
由（2）得x1+x2=-
，x1x2=
，
∵以为AB直径的圆过原点，
∴
⊥
，
∴
•
=0，
∴x1x2+y1y2=0，
∴2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，
即2•
-
+m2=0，
解得m=±
．
∴a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
（2）直线y=x+m代入椭圆方程，消去y整理得：5x2+8mx+4m2-4=0，
∵直线l：y=x+m与椭圆C相交，
∴△=（8m）2-4×5×（4m2-4）＞0，
即-16m2+80＞0，解得-
| 5 |
| 5 |
（3）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
由（2）得x1+x2=-
| 8m |
| 5 |
| 4m2-4 |
| 5 |
∵以为AB直径的圆过原点，
∴
| OA |
| OB |
∴
| OA |
| OB |
∴x1x2+y1y2=0，
∴2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，
即2•
| 4m2-4 |
| 5 |
| 8m2 |
| 5 |
解得m=±
| 2 |
| 5 |
| 10 |
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