题目内容

已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,顶点为O,准线为l,过该抛物线上异于顶点O的任意一点A作AA1⊥l于点A1,以线段AF,AA1为邻边作平行四边形AFCA1,连接直线AC交l于点D,延长AF交抛物线于另一点B.若△AOB的面积为S△AOB,△ABD的面积为S△ABD,则
(S△AOB)2
S△ABD
的最大值为______.
由题意,
(S△AOB)2
S△ABD
的最大值,一定在特殊位置取得,即AB⊥x轴,
此时S△AOB=
1
2
p
2
•2p
=
1
2
p2
S△ABD=
1
2
•p•2p
=p2
(S△AOB)2
S△ABD
的最大值为
1
4
p4
p2
=
p2
4

故答案为:
p2
4
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