题目内容
【题目】定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b）满足 
， 
，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.（ 
）
C.（ 
，1）
D.（ 
，1）
【答案】C
【解析】解：由题意可知，∵f（x）=x3﹣x2+a，f′（x）=3x2﹣2x在区间[0，a]存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b），
满足f′（x1）=f′（x2）= 
=a2﹣a，
∵f（x）=x3﹣x2+a，
∴f′（x）=3x2﹣2x，
∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个不相等的解．
令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）
则， 
解得； 
．
∴实数a的取值范围是（ 
，1）
故选：C
根据题目给出的定义可得f′（x1）=f′（x2）= =a2﹣a，即方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围．
练习册系列答案
相关题目
