题目内容
【题目】如图,在直三棱柱中,
,
,点
分别为
的中点.
(1)证明: 平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)连接,
,点
,
分别为
,
的中点,可得
为 △
的一条中位线,
,由线面平行的判定定理可得结论;(2)先利用勾股定理证明
,由题意以点
为坐标原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系,分别求出平面
与平面
的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果;
试题解析:(1)证明:连接,
,点
,
分别为
,
的中点,所以
为△
的一条中位线,
,
平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)设,则
,
,
,
由,得
,解得
,
由题意以点为坐标原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系.
可得,
,
,
故,
,
,
,
设为平面
的一个法向量,则
,得
,同理可得平面
的一个法向量为
,
设二面角的平面角为
,
,
,
所以,二面角的余弦值为
.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
【题目】某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平,在全市范围内进行了汉字听写考试,现从某校随机抽取了50名学生,将所得成绩整理后,发现其成绩全部介于之间,将其成绩按如下分成六组,得到频数分布表
成绩 | ||||||
人数 | 4 | 10 | 16 | 10 | 6 | 4 |
(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图;
(2)估算该校50名学生成绩的平均值和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)以该校50名学生成绩的频率作为概率,试估计该市分数在的人数.