题目内容

【题目】已知a,b是正实数,设函数f(x)=xlnx,g(x)=﹣a+xlnb.
(Ⅰ)设h(x)=f(x)﹣g(x),求h(x)的单调区间;
(Ⅱ)若存在x0 , 使x0∈[ ]且f(x0)≤g(x0)成立,求 的取值范围.

【答案】解:(1)∵h(x)=f(x)﹣g(x)=xlnx+a﹣xlnb
∴h′(x)=lnx+1﹣lnb
由h′(x)>0得x>
∴h(x)在(0, )上单调递减,( ,+∞)上单调递增.
2)由 <7
(i)当 ,即 时,
h(x)min=h( )=﹣ +a
由﹣ +a≤0得 ≥e,
∴e≤
(ii)当 时,a>
∴h(x)在[ ]上单调递增.
h(x)min=h( )= (ln ﹣lnb)+a≥ (ln ﹣lnb)+a= = b>0
∴不成立
(iii)当 ,即 时,a< b
h(x)在[ ]上单调递减.
h(x)min=h( )= (ln ﹣lnb)+a< (ln lnb)+a= = <0
∴当 时恒成立
综上所述,e≤ <7

【解析】(I)根据已知求出h(x)=f(x)﹣g(x)的解析式,求出其导函数,分别求出导函数为正,为负时x的取值范围,进而可得h(x)的单调区间;(Ⅱ)根据区间的定义可得 ,由f(x0)≤g(x0),结合(I)中函数的单调性,分类讨论,最后综合讨论结果,可得 的取值范围.
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.

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