题目内容

一顶点在坐标原点,焦点在x轴上的抛物线截直线2x-y-4=0所得的弦长为3
5
,求抛物线的方程.
设抛物线方程为y2=2px(p≠0),
将直线方程y=2x-4代入,并整理得2x2-(8+p)x+8=0.
设方程的两个根为x1,x2,则根据韦达定理有x1+x2=
8+p
2
,x1x2=4.
由弦长公式,得(3
5
2=(1+22)[(x1+x22-4x1x2],
即9=(
8+p
2
2-16.
整理得p2+16p-36=0,
解得p=2,或p=-18,此时△>0.
故所求的抛物线方程为y2=4x,或y2=-36x.
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