Question

10．已知函数f（x）=ax²+1，g（x）=x³+bx，其中a＞0，b＞0．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点P（2，m）处有相同的切线（P为切点），求a，b的值；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）的单调递减区间为[-$\frac{a}{2}$，-$\frac{\sqrt{b}}{3}$]，
（1）求函数h（x）在区间（-∞，-1]上的最大值t（a）；
（2）若|h（x）|≤3在x∈[-2，0]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（2，m）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；
（Ⅱ）（1）根据函数h（x）的单调递减区间为[-$\frac{a}{2}$，-$\frac{\sqrt{b}}{3}$]得出a²=4b，构建函数h（x）=f（x）+g（x）=x³+ax²+$\frac{1}{4}$a²x+1，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（-∞，-1]上的最大值．
（2）由（1）知，函数h（x）在（-∞，-$\frac{a}{2}$）单调递增，在（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{6}$）单调递减，在（-$\frac{a}{6}$，+∞）上单调递增，从而得出其极大值、极小值，再根据|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，建立关于a的不等关系，解得a的取值范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ax²+1（a＞0），则f′（x）=2ax，k₁=4a，g（x）=x³+bx，则f′（x）=3x²+b，k₂=12+b，
由（2，m）为公共切点，可得：4a=12+b，
又f（2）=4a+1，g（2）=8+2b，
∴4a+1=8+2b，与4a=12+b联立可得：a=$\frac{17}{4}$，b=5．
（Ⅱ）由h（x）=f（x）+g（x）=x³+ax²+bx+1，
则h′（x）=3x²+2ax+b，
∵函数h（x）的单调递减区间为[-$\frac{a}{2}$，-$\frac{\sqrt{b}}{3}$]，∴当x∈[-$\frac{a}{2}$，-$\frac{\sqrt{b}}{3}$]时，3x²+2ax+b≤0恒成立，
此时，x=-$\frac{\sqrt{b}}{3}$是方程3x²+2ax+b=0的一个根，得3（$-\frac{\sqrt{b}}{3}$）²+2a（-$\frac{\sqrt{b}}{3}$）+b=0，得a²=4b，
∴h（x）=x³+ax²+$\frac{1}{4}$a²x+1
令h′（x）=0，解得：x₁=-$\frac{a}{2}$，x₂=-$\frac{a}{6}$；
∵a＞0，∴-$\frac{a}{2}$＜-$\frac{a}{6}$，列表如下：

x	（-∞，-$\frac{a}{2}$）	-$\frac{a}{2}$	（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{6}$）	-$\frac{a}{6}$	（-$\frac{a}{6}$，+∞）
h′（x）	+		-		+
h（x）		极大值		极小值

∴原函数在（-∞，-$\frac{a}{2}$）单调递增，在（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{6}$）单调递减，在（-$\frac{a}{6}$，+∞）上单调递增．
①若-1≤-$\frac{a}{2}$，即a≤2时，最大值为t（-1）=a-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
②若-$\frac{a}{2}$＜-1＜-$\frac{a}{6}$，即2＜a＜6时，最大值为t（-$\frac{a}{2}$）=1
③若-1≥-$\frac{a}{6}$时，即a≥6时，最大值为t（-$\frac{a}{2}$）=1．
综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为t（-1）=a-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
当a∈（2，+∞）时，最大值为t（-$\frac{a}{2}$）=1．
（2）由（1）知，函数h（x）在（-∞，-$\frac{a}{2}$）单调递增，在（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{6}$）单调递减，在（-$\frac{a}{6}$，+∞）上单调递增，
故h（-$\frac{a}{2}$）为极大值，h（-$\frac{a}{2}$）=1；h（-$\frac{a}{6}$）为极小值，h（-$\frac{a}{6}$）=-$\frac{{a}^{3}}{54}$+1；
∵|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，又h（0）=1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（-2）≥-3}\\{h（-\frac{a}{6}）≥-3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{a}^{2}+4a-7≥-3}\\{-\frac{{a}^{3}}{54}+1≥-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{4-2\sqrt{2}≤a≤4+2\sqrt{2}}\\{a≤6}\end{array}\right.$，
∴a的取值范围：4-2$\sqrt{2}$≤a≤6．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数和应用分类讨论的方法，属难题．