Question

20．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n²+S_n•a_n，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（3）在满足条件（2）的情形下，令c_n=$\frac{3n+2}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）运用递推关系式得出a₁=a，S_n+1=a（S_n+1-a_n+1+1）②，S_n=a（S_n-a_n+1）①，相减判断为等比数列，即可求解通项公式．
（2）根据b_n=a_n²+S_n•a_n，求解b₁，b₂，b₃，b²₂=b₁•b₃，求解即可得出a的值．
（3）根据令c_n=（3n+2）•2ⁿ，式子的结构得出T_n=5×2+8×2²+11×2³+…+（3n-1）×2^n-1+（3n+2）×2ⁿ，运用错位相减求和求解化简即可．

解答 解：（1）∵S_n=a（S_n-a_n+1）①（a为常数，a≠0，a≠1）．
∴当n=1时，a₁=a，
S_n+1=a（S_n+1-a_n+1+1）②
②-①得出：a_n+1=aa_n，n≥1，
$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=a，
∴数列{a_n}的首项为a，公比为a等比数列，
a_n=aⁿ，S_n=$\frac{a（1-{a}^{n}）}{1-a}$①（a为常数，a≠0，a≠1）．
（2）∵b_n=a_n²+S_n•a_n，
∴b₁=2a²，b₂=2a⁴+a³，b₃=2a⁶+a⁵+a⁴，
∵数列{b_n}为等比数列，
∴${{b}_{2}}^{2}$=b₁•b₃，
得出2a⁷=a⁶，a≠0，a≠1）．
∴a=$\frac{1}{2}$；
（3）a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，S_n=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∵令c_n=$\frac{3n+2}{{b}_{n}}$，
∴令c_n=（3n+2）•2ⁿ，
∴数列{c_n}的前n项和为T_n=5×2+8×2²+11×2³+…+（3n-1）×2^n-1+（3n+2）×2ⁿ，①
2T_n=5×2²8×2³+11×2⁴+…+（3n-1）×2ⁿ+（3n+2）×2ⁿ⁺¹②
①-②得出：-T_n=5×2+3×（2²+2³+…+2^n-1）-（3n+2）×2ⁿ⁺¹=（1-3n）×2ⁿ⁺¹-2，
T_n=（3n-1）×2ⁿ⁺¹+2

点评 本题综合考查了等差，等比数列的通项公式前n项和公式，递推关系式，错位相减求和问题，考查了学生的分析问题，解决问题的能力．