Question

6．已知函数f（x）=ae^x-x²（其中a∈R，e是自然对数底数）．
（1）若a=-2，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，试证明0＜f（x₁）＜1．

Answer 1

分析 （1）将a=-2代入函数f（x）的表达式，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；
（2）问题转化为方程a=$\frac{2x}{{e}^{x}}$有两个根，设h（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$，求出h（x）的导数，得到h（x）的单调区间，得到0＜a＜h（1）=$\frac{2}{e}$，从而求出a的范围；
（3）先求出a的值，从而表示出f（x₁）的表达式，进而求出f（x₁）的单调区间，从而证出结论．

解答 解：（1）a=-2时，f（x）=-2e^x-x²，f′（x）=-2e^x-2x，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）递减；
（2）函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，则x₁，x₂是f′（x）=ae^x-2x=0的两个根，
即方程a=$\frac{2x}{{e}^{x}}$有两个根，设h（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$，则h′（x）=$\frac{2-2x}{{e}^{x}}$，
令h′（x）＞0，解得：x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，
∴h（x）在（-∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
要使a=$\frac{2x}{{e}^{x}}$有两个根，只需0＜a＜h（1）=$\frac{2}{e}$，
故实数a的范围是（0，$\frac{2}{e}$）；
（3）证明：由（2）得：函数f（x）的两个极值点x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂，
由f′（x₁）=a${e}^{{x}_{1}}$-2x₁=0得a=$\frac{{2x}_{1}}{{e}^{{x}_{1}}}$，
∴f（x₁）=a${e}^{{x}_{1}}$-${{x}_{1}}^{2}$=-${{x}_{1}}^{2}$+2x₁，
由于f（x₁）=-${{x}_{1}}^{2}$+2x₁在（0，1）递增，
由0＜x₁＜1得：0=f（0）＜f（x₁）＜f（1）=1．

点评 本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，本题是一道中档题．