题目内容

11．计算：1+2i+3i2+…+1000i999．

分析 利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、复数的周期性即可得出．

解答 解：设S1000=1+2i+3i2+…+1000i999．
iS1000=i+2i2+3i3+…+999i999+1000i1000，
∴（1-i）S1000=1+i+i2+…+i999-1000i1000=$\frac{1-{i}^{1000}}{1-i}$-1000=-1000，
∴S1000=$\frac{-1000（1+i）}{（1-i）（1+i）}$=-500-500i．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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1．①若正实数a，b，c满足a+2b+3c=8，求$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$+$\frac{3}{c}$的最小值．
②若a，b，c均为正实数，求证：a+$\frac{1}{b}$，b+$\frac{1}{c}$，c+$\frac{1}{a}$的值至少有一个不小于2．
2．有一块长为8米，宽为5米的长方形钢板．
（1）现对其进行切割，焊接成一个长方体形水箱（无盖），
①从四个角处切去全等的小正方形，边长为x，
求水箱容积关于x的函数关系式V=f（x）及最大容积值；
②由于上述切割存在浪费，如果将切割下的小钢片重新焊接能够做成
水箱上盖，请你求出水箱容积的最大值；（结果保留小数点后两位）
（2）若不许材料浪费，则所做成的长方体水箱（无盖）的表面积是40，你能猜测出理论上最理想的焊接设计模型是怎样的，才能使容积达到最大吗？（给出焊接模型即可）
19．计算：
（1）1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+n}$；
（2）$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．
6．已知函数f（x）=aex-x2（其中a∈R，e是自然对数底数）．
（1）若a=-2，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，试证明0＜f（x1）＜1．
16．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是（　　）
A．若m⊥α，n∥α，则m⊥nB．若m⊥α，n∥m，n?β，则α⊥β
C．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥nD．若m∥α，m∥β，则α∥β
3．已知tana=$\frac{1}{2}$，则sin2a=$\frac{4}{5}$．
20．判断y=ln$\frac{2-x}{2+x}$在[-1，1]上的单调性．
1．袋中有大小相同的4个红球，6个白球，每次从中摸取一球，每个球被取到的可能性相同，现不放回地取3个球，则在前两次取出的是白球的前提下，第三次取出红球的概率为（　　）
A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{1}{3}$C．$\frac{1}{4}$D．$\frac{1}{6}$

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