计算:1+2i+3i2+-+1000i999．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．计算：1+2i+3i²+…+1000i⁹⁹⁹．

分析利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、复数的周期性即可得出．

解答解：设S₁₀₀₀=1+2i+3i²+…+1000i⁹⁹⁹．
iS₁₀₀₀=i+2i²+3i³+…+999i⁹⁹⁹+1000i¹⁰⁰⁰，
∴（1-i）S₁₀₀₀=1+i+i²+…+i⁹⁹⁹-1000i¹⁰⁰⁰= $\frac{1-{i}^{1000}}{1-i}$ -1000=-1000，
∴S₁₀₀₀= $\frac{-1000（1+i）}{（1-i）（1+i）}$ =-500-500i．

点评本题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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1．①若正实数a，b，c满足a+2b+3c=8，求

$\frac{1}{a}$ +

$\frac{2}{b}$ +

$\frac{3}{c}$ 的最小值．
②若a，b，c均为正实数，求证：a+

$\frac{1}{b}$ ，b+

$\frac{1}{c}$ ，c+

$\frac{1}{a}$ 的值至少有一个不小于2．

2．

有一块长为8米，宽为5米的长方形钢板．
（1）现对其进行切割，焊接成一个长方体形水箱（无盖），
①从四个角处切去全等的小正方形，边长为x，
求水箱容积关于x的函数关系式V=f（x）及最大容积值；
②由于上述切割存在浪费，如果将切割下的小钢片重新焊接能够做成
水箱上盖，请你求出水箱容积的最大值；（结果保留小数点后两位）
（2）若不许材料浪费，则所做成的长方体水箱（无盖）的表面积是40，你能猜测出理论上最理想的焊接设计模型是怎样的，才能使容积达到最大吗？（给出焊接模型即可）

19．计算：
（1）1+

$\frac{1}{1+2}$ +

$\frac{1}{1+2+3}$ +…+

$\frac{1}{1+2+3+…+n}$ ；
（2）

$\frac{1}{2}$ +

$\frac{3}{{2}^{2}}$ +

$\frac{5}{{2}^{3}}$ +…+

$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$ ．

6．已知函数f（x）=ae^x-x²（其中a∈R，e是自然对数底数）．
（1）若a=-2，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，试证明0＜f（x₁）＜1．

16．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是（　　）

	A．	若m⊥α，n∥α，则m⊥n		B．	若m⊥α，n∥m，n?β，则α⊥β
	C．	若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n		D．	若m∥α，m∥β，则α∥β

3．已知tana=

$\frac{1}{2}$ ，则sin2a=

$\frac{4}{5}$ ．

20．判断y=ln

$\frac{2-x}{2+x}$ 在[-1，1]上的单调性．

1．袋中有大小相同的4个红球，6个白球，每次从中摸取一球，每个球被取到的可能性相同，现不放回地取3个球，则在前两次取出的是白球的前提下，第三次取出红球的概率为（　　）

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{6}$

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