Question

11．已知函数f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+ωx）+cos（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0），f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求y=f（x）的单调递增区间；
（3）若x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，得出结论

解答 解：由函数f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+ωx）+cos（ωx-$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$cosωx+cos$\frac{π}{3}$sinωx+cosωxcos$\frac{π}{6}$+sinωxsin$\frac{π}{6}$
=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
（1）由f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
故函数y=f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（3）若x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，则2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
故当2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最小值为-$\sqrt{3}$，当 2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值为2，
故y=f（x）的值域为[-$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于中档题．