Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的单调增区间；

（2）若存在，使得（是自然对数的底数），求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）先求原函数的导数得：f'（x）= ，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

（2）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．

试题解析：

（1）由于，

1° 当单调递增， ，所以单调递增，

故单调递增，

∴，即，所以，

故函数在上单调递增；

2° 当单调递增， ，所以单调递增，故单调递增，

∴，即，所以，

故函数在上单调递增；综上，函数的单调增区间为．

（2）因为存在，使得，

所以当时， ，

由（1）知， 在上递减，在上递增，

所以当时，

而，

记，因为（当时取等号），

所以在上单调递增，而．

1° 当时， ， ∴， ∴当时， ，

即，易知： ，在上递增， ∴．

2° 当时， ， ∴，

易知在上递减， ∴，综上： ．